Модель устройства Yo-Yo для гашения угловой скорости
SimInTech model of Yo-Yo device for de-spin space vehicle.
В ракетно-космической технике, когда достаточно c невысокой точностью поддерживать заданное направление продольной оси космического аппарата или ступени ракеты-носителя, может использоваться пассивная стабилизация вращением. Вращающийся вокруг продольной оси космический аппарат или ступень ракеты в соответствии с законом сохранения кинетического момента будет сохранять направление своей продольной оси в пространстве или прецессировать вокруг вектора кинетического момента при действии внешних возмущающих моментов.
Такой способ поддержания заданного направления продольной оси орбитальной ступени ракеты-носителя использовался при запуске КА “Dawn”. Вторую космическую скорость космическому аппарату сообщала третья ступень (Star 48) с твердотопливным двигателем. При работе двигателя ступени её стабилизация с закрепленным КА обеспечивалась вращением с угловой скоростью около 50 оборотов в минуту.
После окочания этапа стабилизации такого типа необходимо остановить быстрое вращение, например для безопасного отделения КА. Для этого на ступень можно установить систему управления и двигатели ориентации и стабилизации, расходующие рабочее тело. Конечно, это усложит конструкцию ступени и снизит её надежность.
В начале 60-х годов в Лаборатории реактивного движения Калифорнийского технологического института было придумано простое механическое устройство Yо-Yо для гашения угловой скорости вращения ракет или КА без затрат рабочего тела.
Устройство состоит из двух грузов, закреплённых на тросах или лентах, намотанных вокруг корпуса аппарата-носителя (или катушки, закрепленной на носителе). В исходном состоянии грузы удерживаются замками. В заданный момент времени замки раскрываются и грузы начинают разматываться под действием центробежной силы (во вращающеейся системе координат тела). После полного разматывания тросов грузы отделяются от аппарата, “унося” с собой часть момента количества движения, в результате чего скорость носителя уменьшается.
Перед отделением космического аппарата “Dawn” от третьей ступени “Star 48” гашение угловой скорости выполнялось при помощи устройства Yo-Yo с тросами длиной 12 метров и двумя грузами по 3 кг.
Основное преимущество устройства Yo-Yo – это простота и надёжность. Интересная особенность Yo-Yo это независимость его параметров от абсолютного значения начальной угловой скорости, которую необходимо уменьшить. Длина тросов и масса грузов зависят от момента инерции тела-носителя, радиуса намотки троса и отношения начальной и конечной (потребной) угловой скорсоти носителя. При заданной массе груза, моменте инерции носителя и радиусе катушки, на которую наматываются тросы двух грузов, требуемая длина троса для снижения угловой скорости определятся выражением \[l = \sqrt{\frac{1-k}{1+k} \cdot \frac{J}{2m}} - a,\]
где \(J\) – момент инерции носителя относительно оси вращения, \(m\) – масса груза, \(a\) – радиус катушки, \(k = \omega_k / \omega_0\) – отношение конечной и начальной угловой скорости, т.е. длина тросов зависит только от коэффициента уменьшения угловой скорости, но не от её абсолютного значения. Если необходимо остановить вращение тела, то длина троса будет определяться простой формулой \[l = \sqrt{\frac{J}{2 m}} - a\]
Математическая модель Yo-Yo
Работа устройства Yo-Yo разделяется на два этапа. На первом этапе трос разматывается с катушки, оставаясь в касательной плоскости к её боковой поверхности. Свободная длина троса на этом этапе равна произведению угла \(\alpha\) на радиус катушки \(a\). На втором этапе трос движется вокруг точки своего закрепления на поверхности катушки (точка А на правом рисунке).
Уравнения движения носителя с двумя грузами на тросах построим, используюя уравнения Лагранжа II-го рода \[\frac{d}{dt} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_i} - \frac{\partial T}{\partial {q}_i} = 0, \quad i=1,2.\]
И на первом и на втором этапах, рассматриваемая механическая система имеет две степени свободы.
Первый этап движения
Рассматривая плоское движение системы, её движение на первом этапе можно описать двумя углами: углом \(q_1 = \varphi\), определяющем угловое положение носителя относительно инерциальной системы координат \(Cx_0y_0\), и углом \(q_2 = \alpha\), определяющим положение точки схода троса относительно системы координат \(Cx_cy_c\), связанной с носителем. Положение груза в системе \(Cx_cy_c\), связанной с носителем, будет определяться координатным столбцом \[\mathbf{\rho}^{(c)} = a \begin{bmatrix} \cos \alpha \\ \sin \alpha \end{bmatrix} + l \begin{bmatrix} \sin \alpha \\ -\cos \alpha \end{bmatrix}\]
В неподвижной системе координат координатный столбец вектора положения груза определим, умножив столбец \(\mathbf{\rho}^{(c)}\) на матрицу поворота вокруг оси x: \[\mathbf{r}^{(0)} = \mathbf{A}_x \mathbf{\rho}^{(c)} = \begin{bmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix} \cdot \left( a \begin{bmatrix} \cos \alpha \\ \sin \alpha \end{bmatrix} + l \begin{bmatrix} \sin \alpha \\ -\cos \alpha \end{bmatrix} \right).\]
Продиффиренцировав это выражение, получим скорость груза \[\mathbf{v}^{(0)} = a \begin{bmatrix} \alpha \left(\dot \alpha+ \dot \varphi \right) \cos (\alpha +\varphi )-\dot \varphi \sin (\alpha +\varphi ) \\ \alpha \left(\dot \alpha+\dot \varphi \right) \sin (\alpha +\varphi )+ \dot \varphi \cos (\alpha +\varphi ) \end{bmatrix}.\]
Кинетическая энергия системы, состоящей и носителя и двух грузов имеет следующий вид: \[T = \frac{J \dot{\varphi}^2}{2} + m v^2.\]
или \[T = \frac{1}{2} \dot{\varphi}^2 \left(2 a^2 m+J\right)+a^2 \alpha ^2 m \left(\dot{\alpha}+\dot{\varphi} \right)^2.\]
После подстановки выражения кинетической энергии в уравнения Лагранжа II-рода, получим систему двух дифференциальных уравнений второго порядка, описывающих движение системы на первом этапе: \[\left\{ \begin{aligned} & \ddot{\varphi} \left(1 + \alpha ^2 +\frac{J}{2 ma^2} \right) + \ddot{\alpha} \alpha ^2 = - 2 \alpha \dot{\alpha} \left(\dot{\alpha}+\dot{\varphi} \right), \\ & \ddot{\varphi} \alpha^2 + \ddot{\alpha} \alpha^2 = \alpha \left(\dot{\varphi}^2 - \dot{\alpha}^2\right). \end{aligned} \right.\]
При отсутствии внешних возмущающих моментов кинетический момент рассматриваемой системы будет сохраняться. Для первого этапа движения системы выражение кинетического момента системы имеет вид: \[K = \alpha ^2 (\dot{\alpha }+\dot{\varphi })+\dot{\varphi}\left(1+\frac{J}{2 a^2 m} \right) =const\]
Это условие можно использовать для проверки корректности математической модели.
Второй этап
На втором этапе конфигурация системы также определяется двумя углами: прежним углом \(q_1 = \varphi\) и углом \(q_2 = \psi\), определяющим угол поворота троса относительно касательной в точке зарепления троса (точка А). Угол \(\alpha\) на втором этапе движения остается постоянным и равным конечному значению угла \(\alpha(t_1) = \alpha_1\) на первом этапе.
Положение груза на втором этапе в системе координат, связанной с носителем, будет определяться координатным столбцом \[\mathbf{\rho}^{(c)} = a \begin{bmatrix} \cos \alpha_1 + \alpha_1 \sin(\alpha_1+\psi) \\ - \alpha_1 \cos (\alpha_1+\psi) + \sin \alpha_1 \end{bmatrix}\]
где \(\alpha_1\) – максимальное значение угла \(\alpha\), которое равно отношению длины троса к радиусу катушки \(\alpha_1 = l/a\). В неподвижной системе координат координатный столбец вектора положения груза определяется выражением: \[\mathbf{r}^{(0)} = \begin{bmatrix} a \cos \left(\alpha _1+\varphi \right)+l \sin \left(\alpha _1+\varphi +\psi \right) \\ a \sin \left(\alpha _1+\varphi \right)-l \cos \left(\alpha _1+\varphi +\psi \right) \end{bmatrix}.\]
Скорость груза: \[\mathbf{v}^{(0)} = \begin{bmatrix} \dot{\varphi } \left[l \cos \left(\alpha _1+\varphi +\psi \right)-a \sin \left(\alpha _1+\varphi \right)\right]+l \dot{\psi } \cos \left(\alpha _1+\varphi +\psi \right) \\ \dot{\varphi } \left[a \cos \left(\alpha _1+\varphi \right)+l \sin \left(\alpha _1+\varphi +\psi \right)\right]+l \dot{\psi } \sin \left(\alpha _1+\varphi +\psi \right) \end{bmatrix}.\]
Кинетическая энергия системы: \[T = \frac{1}{2} \dot{\varphi }^2 \left(2 m \left(a^2+l^2\right)+4 a l m \sin \psi +J\right)+2 l m \dot{\varphi } \dot{\psi } (a \sin \psi+l)+l^2 m \dot{\psi}^2\]
Уравнения движения второго этапа: \[\left\{ \begin{aligned} & \ddot{\varphi } \left[2 m \left(a^2+l^2\right)+4 a l m \sin \psi+J\right]+2 a l m \dot{\psi } \left(2 \dot{\varphi }+\dot{\psi }\right) \cos \psi+2 l m \ddot{\psi } (a \sin \psi+l)=0, \\ & \ddot{\varphi } (a \sin \psi+l)-a \dot{\varphi }^2 \cos \psi+l \ddot{\psi }=0. \end{aligned} \right.\]
Условие сохранения кинетического момента на втором этапе движения имеет вид: \[\dot{\varphi } \left(2 m \left(a^2+l^2\right)+4 a l m \sin \psi+J\right)+2 l m \dot{\psi } (a \sin \psi+l) = const\]
Модель в SimInTech
Модель устройства Yo-Yo в среде динамического моделирования SimInTech может быть построена с использованим блока “Язык программирования” (библиотека “Динамические”), в котором записаны функции правых частей систем дифференциальных уравнений двух этапов. Блок возвращает вторые производные обобщенных координат, которые при помощи стандартных блоков-интеграторов дважды интегрируются для получения обобщенных скоростей и координат.
На первом этапе движения в блоке вычисляются угловое ускорение носителя \(\ddot{\varphi}\) (d2phi) и угловое ускорение \(\ddot \alpha\) движения точки контакта троса по окружности (d2alpha). На выходе d2psi формируется нулевой сигнал. На втором этапе движения вычисляются угловое ускорение носителя \(\ddot{\varphi}\) (d2phi) и угловое вращения троса относительно точки A \(\ddot \psi\). На выходе d2alpha формируется нулевой сигнал.
Перход к второму этапу движения производится после достижения угла альфа максимального значения \(\alpha_1 = l/a\). Для этого на вход блока “Сигнал больше уставки” библиотеки “Нелинейные” подается значение угла и при достижении угла \(\alpha_1\) на выходе блока формируется “1”, которая записывается в память под именем “Этап 2”. Это значение используется для выбора правой части дифференциальных уравнений движения системы в блоке “Модель Yo-Yo (функция правых частей)”.
Значение “Этап 2” также используется для управления процессом инегрирования выходов блока “Модель Yo-Yo (функция правых частей)”. На первом этапе (значение “Этап 2” = 0) сигнал d2alpha дважды интегрируется. На втором этапе движения (значение “Этап 2” = 1) управляемый, нормально-замкнутый ключ (НЗ) при подаче 0 на вход управления пропускает выходной сигнал \(\dot \alpha\) с первого инегратора на вход второго интегратора. Управляемый, нормально-разомкнутый ключ (НР) не пропускает сигнал в линию интегрирования d2psi.
На втором этапе движения (значение “Этап 2” = 1) ключ НЗ разомкнут и на его выходе формируется 0, который подаётся на вход интегратора скорости, поэтому угол \(\alpha\) остаётся постоянным и равным значению угла в конце первого этапа \(\alpha_1\). На выходе d2alpha блока “Модель Yo-Yo (функция правых частей)” на втором этапе формируется 0, поэтому на выходе первого интегратора остаётся постоянное значение \(\dot{\alpha}_1\) равное значению \(\dot \alpha\) на момент окончания первого этапа. Это значние через нормально разомкнутый ключ (НЗ), пропускающий сигнал на втором этапе добавляется к значению \(\dot \psi\), формируя тем самым начальное условие для инегрирования этой величины на втором этапе: \(\dot \psi(t_1) = \dot{\alpha}(t_1)\).
Далее представлен код блока “Модель Yo-Yo (функция правых частей)”. В файл-скрипте вычисляется правая часть системы дифференциальных уравнений движения, приведенной к форме Коши, в зависимости от значения “Этап 2” (_stage). Полученные выше системы дифференциальных уравнения движения можно представить в виде матричного уравнения (на примере первого этапа): \[\begin{bmatrix} m_{11} & m_{12} \\ m_{21} & m_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \ddot \varphi \\ \ddot \alpha \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \end{bmatrix}.\]
или \[\mathbf M \begin{bmatrix} \ddot \varphi \\ \ddot \alpha \end{bmatrix} = \mathbf B\]
где \(M\) – матрица масс системы (матрица коэффициентов при ускорениях), \(B\) – матрица- столбец, в которую включены все слагаемые, не зависящие от ускорений.
Эта система линейных уравнений относительно вторых производных обобщённых координат разрешается при помощи функци lsolve и решение подается на выходы блока “Модель Yo-Yo (функция правых частей)”.
input _dphi, _phi, _alpha, _dalpha, _psi, _dpsi, _stage;
output d2phi, d2alpha, d2psi;
if not _stage>0 then
begin
// -----------------------------------------------------------------------------
// Уравнения первого этапа
// -----------------------------------------------------------------------------
massMat = matrix(2,2);
massMat[1,1] = Jz+2*a^2*m*(1+_alpha^2);
massMat[1,2] = 2*a^2*m*_alpha^2;
massMat[2,1] = massMat[1,2];
massMat[2,2] = massMat[1,2];
bMat = vector(2);
bMat[1] = -4*a^2*m*_alpha*_dalpha*(_dalpha+_dphi);
bMat[2] = -2*a^2*m*_alpha*(_dalpha^2-_dphi^2);
sol = lsolve(massMat,bMat);
d2phi = sol[1];
d2alpha = sol[2];
d2psi = 0;
end
else
begin
// -----------------------------------------------------------------------------
// Уравнения второго этапа
// -----------------------------------------------------------------------------
massMat = matrix(2,2);
massMat[1,1] = Jz+2*(a^2+l^2)*m+4*a*l*m*sin(_psi);
massMat[1,2] = 2*l*m*(l+a*sin(_psi));
massMat[2,1] = massMat[1,2];
massMat[2,2] = 2*l*l*m;
bMat = vector(2);
bMat[1] = -2*a*l*m*cos(_psi)*_dpsi*(_dpsi+2*_dphi);
bMat[2] = 2*a*l*m*cos(_psi)*_dphi^2;
sol = lsolve(massMat,bMat);
d2phi = sol[1];
d2alpha = 0;
d2psi = sol[2];
end;
// -----------------------------------------------------------------------------
// Запись сигналов
// -----------------------------------------------------------------------------
if goodstep then
begin
w = _dphi;
phi = _phi;
alpha = _alpha;
psi = _psi;
free_tether_length = alpha*a;
x = a*cos(_alpha)+_alpha*a*sin(_psi+_alpha);
y = a*sin(_alpha)-_alpha*a*cos(_psi+_alpha);
vx = -a*sin(_alpha)*_dalpha+(_alpha*a)*cos(_psi+_alpha)*(_dpsi+_dalpha)+dalpha*a*sin(_psi+_alpha)-y*_dphi;
vy = a*cos(_alpha)*_dalpha+(_alpha*a)*sin(_psi+_alpha)*(_dpsi+_dalpha)-dalpha*a*cos(_psi+_alpha)+x*_dphi;
v = sqrt(vx^2+vy^2);
end;
Параметры модели модели устройства Yo-Yo и начальные условия движения задаются в секции инициализации скрипта проекта:
initialization
// Момент инерции тела
Jz = 2000;
// Радиус катушки с тросами
a = 1;
// Масса груза
m = 10;
// Максимальная длина троса (для обнуления угловой скорости)
l = sqrt(Jz/(2*m))-a;
// Начальная угловая скорость
w0 = 90*pi/180;
end;
Список литературы
- Cornille H. J. A method of accurately reducing the spin rate of a rotating spacecraft. NASA Technical Note. Washington: National Aeronautics and space administration, 1962. № October. С. 13.
- Fedor J. V. Theory And Design Curves for a Yo-Yo De-spin Mechanism for Satellites. Greenbelit: Goddard Space Flight Center, 1961.
- Fedor J. V. Analytical Theory of the stretch Yo-Yo for de-spin of Satellites. Greenbelt: Goddard Space Flight Center, 1963.
- William R. Mentzer. Analysis of the dynamic tests of the stretch yo-yo de-spin system. Greenbelt, Maryland: Goddard Space Flight Center, 1963. С. 24.
- Collins L. A three-dimensional analysis of a tangential yo-yo despin device on a rotating body: Technical note TN D-3848. NASA, 1967.
- Yudintsev V., Aslanov V. Detumbling Space Debris Using Modified Yo-Yo Mechanism. Journal of Guidance, Control, and Dynamics. 2017. Т. 40, № 3. С. 714–721.
